波形發生器和頻率分辨率

此篇報告的目的

本技術報告概述了如何用電化學工作站產生波形信號。此外，還討論了“頻率分辨率”一次，這一經常在規格書常常提到的名詞。但是這一術語究竟描述的是什么？有什么意義。

介紹

進行EIS試驗時，向測試體系施加不同頻率下電位或電流正弦波信號。正弦波的公式如下：

以Et作為在時間t的施加信號，幅度E0和角頻率ω。角頻率也可以寫成ω=2π?f的頻率f。

因為對EIS的詳細介紹不在本應用報告范圍內，所以我們主要關注正弦波信號的生成方式。

信號數字化和局限性

過去，波形信號是通過模擬方法產生的；較早的儀器使用鎖相環（PLL）來創建正弦波。現在，信號已數字化。這意味著信號發生器以階梯形式近似信號曲線（見圖1）。每個單獨階梯的寬度（時間標度）和高度（幅度標度）取決于采樣率和幅度分辨率。這些階梯越小，信號再現越好。

圖1 正弦波圖形，放大細節顯示了其數字化階梯形式

高頻信號通常是電化學工作站的限制因素。采樣率（也稱為“時鐘率”或“時鐘頻率”）起著重要作用。時鐘頻率不僅定義了產生信號的階梯的寬度，還決定了能夠達到的大信號頻率。通常，時鐘頻率fCLK必須至少是信號頻率的兩倍。極限頻率也能奎斯特頻率fNyuisit（見公式2）。

圖2更加詳細的說明了這一點。紅線代表目標正弦信號。黑點表示信號發生器的時鐘頻率，綠線表示實際信號。

圖2 時鐘頻率對波形產生的影響

如圖2所示，如果信號頻率f高于fNyquist（上），則無法產生正弦波，產生的只是恒定信號。如果信號頻率等于（中）或低于fNyquist（下），則可以產生正弦波信號。

還能注意到，與信號頻率f相比，更大的fCLK產生的正弦信號更好，因為有更多的點來構成信號。在第二種情況下（f=fNyuist），生成的信號只是一個三角波。因此fCLK往往要比目標頻率大很多。

但是，不僅是始終頻率限制了可用的頻率范圍。高頻信號還意味著由控制放大器處理更快的信號變化（步長）。為了處理好這些信號，控制放大器的帶寬需要足夠高，以便可以正確調整信號施加在測試體系上。

其他決定可用頻率范圍的因素來自測試設置。電極線對信號的質量和帶寬有巨大影響。諸如雜散電容和電感效應會極大地限制頻率范圍。

與高頻相反，低頻信號由于過程緩慢很容易控制。低頻沒有儀器方面限制，但有實際限制。例如，一個10µHz的正弦信號會持續27小時。

波形產生

Gamry根據頻率范圍使用兩種不同的方法來生成波形。直接數字合成器（DDS）正弦波發生器用于生成高頻信號。數模轉換器（DAC）用來生成低頻信號。圖3給出了這兩種方法信號發生器的簡化圖。

圖3 兩種頻率相關的正弦波生成方法的信號發生器簡化圖。詳細信息，參考下文。

信號發生器的輸出信號終傳遞到控制放大器。它將信號施加到測試體系上，并通過靜電計的輸入相應地調整信號。

以下各節將詳細介紹這兩種用于生成波形的方法。

高頻信號

每個DDS波形發生器都有一個數字時鐘輸入。其參考時鐘頻率fCLK確定各個信號點之間的時間分辨率。

頻率輸入在“頻率寄存器”中處理并讀入“相位累加器”。顧名思義，它不使用正弦波模值，而是相位信息來生成波形。原因是正弦信號的模值不是線性的，因此很難生成。但是相位是線性的。因此更容易生成相位曲線，然后將其轉換成正弦波信號。

相位累加器生成一個連續的數字相位信號，每個周期重復。相位的階躍高度Dq由相位累加器的分辨率定義。例如，在使用32位分辨率時，相位信息被分為2³²部分。

圖4 正弦信號幅值和相角的變化

可以通過控制相位位數來調整輸出頻率。這一參數又被稱為“頻率調諧字”（FTW）。每個適用頻率值都有相對應的FTW值，該值存儲在“頻率寄存器”中（見圖3）。輸入頻率輸入值后，將從頻率寄存器中檢索相應的FTW值，然后將其讀入相位累加器。然后相位累加器創建一個與輸入頻率相對應的相位信號。DDS的一般輸出方程可以按如下表示（對于32位相位累加器）。

Δt是數字信號的階躍寬度，通常表示為fCLK的倒數。

注意，如果相位累加器（FTW=2³²）掃描整個相位范圍，則輸出頻率fout將等于DDS的時鐘頻率fCLK。然而，如上文和圖2所述，不可能以該頻率生成正弦波信號。因此，FTW值的范圍從0到2³²-1（對于32位的相位累加器），并且覆蓋可用相位位數的下半部分。這意味著只能生成大頻率為fNyuist的信號。

相位累加器的輸出信號包含相位信息。必須將之轉換成振幅才能產生正弦波信號。這在所謂的“正弦查找表”（sine-LUT）中完成。

該表中的每個相位值都分配有一個振幅值。在后一步，轉化成振幅值是在數模轉換器（DAC）中處理。它生成具有所需頻率的正弦波。

“帶通濾波器”用于過濾掉不需要的部分，從而產生出平滑的輸出信號。它消除了DDS輸出的階躍，并且防止信號漂移。以下段落更加詳細的說明這一點。

圖5顯示了用IFC 5000測試的1MHz正弦波輸出信號。藍線是相位累加器之后的輸出。請注意時鐘頻率為24MHz。因此單個正弦波信號顯示24個信號階躍。整個信號和高頻噪聲信號疊加在一起。相反，濾波后的輸出信號（紅線）是平滑的，階梯形式幾乎被*濾除。此外，信號的噪聲也大大降低。后的輸出信號更類似于模擬信號。

圖5 IFC 5000正弦波輸出信號濾波前（藍）和后（紅）的信號

圖6比較了圖5中所示的兩個正弦波信號的快速傅里葉變化（FFT）圖。正弦波信號顯示在頻率域中，。圖6A顯示了未濾波的信號，圖6B是濾波后的信號。

在頻率為1MHz時，兩張圖都有一個主信號峰值，代表正弦波的基頻。在正弦波基頻的諧波處可以找到其他峰，在這種情況下，n乘以1MHz（n=2,3,4,…）。圖6B中的這些峰值幾乎都被過濾器*濾除。

圖6中未顯示時鐘頻率（24MHz）附近的頻率范圍。通常，FFT圖還會在這一頻率出現一個很大的峰。然而這一部分也被濾除，通常不會影響所施加的信號的質量。

圖6 正弦波輸出信號的快速傅里葉轉換圖，A濾波前，B濾波后

后一步，將濾波后的信號讀入處理輸入幅值的“衰減DAC”中。DDS輸出信號始終以大幅值生成。衰減DAC根據所需幅值調整幅值大小。信號發生器的輸出信號傳遞到控制放大器中，在此將信號施加在測試體系上。

DDS的通用輸出方程式（式3）也可用于計算其小頻率（FTW=1）。例如，帶有32位相位累加器的24MHzDDS可產生小頻率大約5.6mHz的正弦波信號。這也是DDS的頻率分辨率。所有更高頻率都是該值的整數倍。

低頻信號

如上文所述，DDS的小頻率取決于其時鐘頻率和相位累加器的分辨率。因此Gamry使用DAC生成較低頻率（<100Hz）的波形信號，如圖3所示。低頻率波形更容易控制，因為與高頻相比信號變化很小。DAC處理輸入頻率和幅值，并根據輸入參數逐漸掃描信號。“低通濾波器”會在控制放大器處理輸出信號之前對其進行平滑處理。

技術上沒有限制但是實際有限制。如上文所述，在mHz范圍內的正弦波需要幾個小時。

總結

在應用報告介紹了電化學工作站是如何生成波形的。Gamry在高頻信號上使用直接數字合成正弦發生器。但是，頻率范圍受其分辨率和采樣率限制。因此逐漸掃描信號的數模轉換器用于較低頻率。

基本上，低頻信號不是電化學工作站的限制因素。有更多實際原因的限制，因為實驗可能需要很長的時間。相反，諸如采樣率之類的因素限制了高頻信號。此外，電極線和設置引起的電容和電感效應會嚴重影響信號的質量和帶寬。

電化學工作站規格參數中經常提到“頻率分辨率”一詞。這可能引起誤解，通常不能提供足夠信息或不能*指示儀器的性能。如果有的話，頻率分辨率僅對高頻信號有意義。衡量儀器EIS性能的hao方法是準確度等高線圖（ACP）。